Théorie des matrices aléatoires et apprentissage
R. COUILLET, J. NAJIM
LearningTheory

Prè-requis

Cours de probabilité.

Objectif du cours

Introduction à la théorie des grandes matrices aléatoires et en particulier à ses applications au traitement du signal et à l’apprentissage.

Organisation des séances

  • 9 séances de 2 heures de cours/co
  • 3 séances de 2 heures de TP

Mode de validation

  • 50% compte-rendus TP
  • 50% examen final (contrôle écrit ou projet)

Références

  •  G. W. Anderson, A. Guionnet, and O. Zeitouni. An introduction to random matrices, volume 118 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
  •  R. Couillet and M. Debbah. Random matrix methods for wireless communications. Cambridge University Press, 2011.
  • T. Tao. Topics in random matrix theory, volume 132 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012.

Plus d’information…

Thèmes abordés

(La présentation des aspects méthodologiques et applicatifs est volontairement différenciée – les deux aspects seront intégrés  dans le cadre du cours)

1 – Théorie des grandes matrices aléatoires

  • techniques de base: calcul matriciel gaussien, transformée de Stieltjes, inégalité de Poincaré-Nash, G-estimation.
  • théorème de Marcenko-Pastur décrivant le comportement de la mesure empirique des valeurs propre d’une grande matrice de covariance empirique.
  • théorème de Tracy-Widom décrivant les fluctuations de la plus grande valeur propre d’une grande matrice de covariance empirique
  • Modèles spécifiques aux applications en statistiques: modèles structurés (modèle signal + bruit, à profil de variance, à matrice de population). modèles à petites perturbations (modèles spiked)

2 – Applications au traitement du signal et à l’apprentissage

  • Etude des performances d’un canal multi-antennes en émission et en réception (canal MIMO, information mutuelle, capacité ergodique)
  • Détection de source en grande dimension et application à la détection de spectre vide (spectrum sensing) en radio cognitive.
  • Estimation des distances/puissances: application au positionnement d’utilisateurs par triangulation en télécommunications.
  • Traitement d’antennes en grande dimension: estimation d’angles d’arrivée, algorithme MUSIC.
  • Détection de communautés sur des grands graphes.
  • Méthodes à noyau
Les intervenants

Romain Couillet

(CentraleSupélec)

Jamal Najim

(CNRS & Université Paris Est)

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