Prè-requis
Niveau Maths cours de L3, M1
Objectif du cours
Nous présentons dans ce cours quelques outils mathématiques qui interviennent de manière systématique dans de nombreux problèmes de modélisation en neurosciences.
Organisation des séances
ENS-Paris-Saclay (salle 3E34) : cours de 13h30 à 16h30, TD de 16h45 à 18h45
Mode de validation
Examen pour la première session, rattrapage sous forme de lecture d’article.
Références
- Wulfram Gerstner et W. Kistler, Spiking neuron models, Cambridge University Press, 2002.
- Yuri A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory.
- Eugène Izhikevich, Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting, MIT Press, 2006.
- G. Bard Ermentrout and David H. Terman, Mathematical Foundations of Neuroscience, Springer, 2010.
Thèmes abordés
- Modèles mésoscopiques de certaines structures corticales: structure anatomique du cortex visuel (aire V1), architecture fonctionnelle de V1, modèles de champs neuronaux.
- Introduction aux systèmes dynamiques: orbites et portraits de phases, variétés invariantes, équivalence de systèmes dynamiques, classification topologique des équilibres, stabilité structurelle, variété centrale en dimension finie.
- Introduction à la théorie des bifurcations: dimension 1 (noeud-selle, transcritique, fourche), dimension 2 (Hopf), variété centrale, forme normale, bifurcations équivariantes.
- Applications: sensibilité à l’orientation des contours visuels, formation de structures corticales et hallucinations visuelles.
- Modèles de neurones: le modèle de Hodgkin-Huxley sans espace, modèles simplifiés, modèles de synapses, modèles spatiaux.
- Le rôle du bruit: mouvement Brownien, équations différentielles stochastiques, application aux neurones.
- Modèles de champ moyen: la théorie de Sompolinsky-ben Arous-Guionnet des verres de spin, applications aux modèles de neurones à taux de décharge, la théorie de Mc-Kean-Tanaka-Sznitman de particules en interaction, application aux modèles de neurones à potentiels d’action, application aux masses neurales.
Les intervenants
Etienne TANRE
(INRIA)
Romain VELTZ
(INRIA)