Objectif du cours
Le module a pour objectif d’introduire, de structurer et de comparer les principales approches permettant d’accélérer, d’approximer, de contraindre et de fiabiliser des modèles numériques de phénomènes physiques. Le point de départ est celui des simulateurs scientifiques classiques – fondés sur des EDP, des systèmes dynamiques ou des chaînes de solveurs multiphysiques – dont le coût de calcul, la rigidité algorithmique ou la difficulté de calibration limitent l’usage dans les pipelines d’ingénierie, de maintenance, de sûreté, d’optimisation et de jumeaux numériques.
Le fil directeur du cours n’est pas de juxtaposer un dictionnaire de méthodes. Il consiste au contraire à suivre un petit nombre de questions structurantes : que cherche-t-on à approximer exactement ; à quel niveau intervient la connaissance physique ; a-t-on ou non accès à l’intérieur du solveur ; quel est le coût d’entraînement et le coût d’inférence ; quelles garanties peut-on obtenir en précision, robustesse, interprétabilité et quantification d’incertitudes.
Chaque séance se termine ainsi par un bilan synthétique des avantages, limitations, hypothèses et domaines d’emploi des méthodes rencontrées. Dans cette perspective, le cours s’appuiera sur une vue panoramique des grandes voies de la métamodélisation.
- Une première voie est intrusive ou semi-intrusive : on agit directement sur le modèle numérique lui-même pour en réduire la dimension, par exemple au moyen de la POD, des bases réduites et des projections de Galerkin
- Une seconde voie est non intrusive : on considère le simulateur comme une boîte noire et l’on apprend, à partir de simulations distillées, une approximation statistique ou algorithmique de la carte entrée-sortie ; on y trouve notamment le krigeage par processus gaussiens, les polynômes de chaos, les décompositions HDMR, certaines méthodes de faible rang et les surrogates
Entre ces deux pôles se déploie une zone hybride ou physiquement informée, où l’on incorpore des contraintes physiques, des structures d’opérateur ou des résidus d’équations dans l’apprentissage : processus gaussiens contraints, PINN, Neural ODE, FNO, GNN, Physics Transformers, ou architectures combinant ROM et deep learning.
Autour de ces familles principales s’organisent des outils transverses qui seront mobilisés tout au long du module : plans d’expériences et enrichissement adaptatif, validation et contrôle de l’erreur de métamodélisation, sensibilité globale, calibration bayésienne, inférence inverse, prévision ensembliste, et méthodes de quantification d’incertitudes.
Organisation des séances
Le cours est délivré en français (les supports de cours sont en anglais)
Séance 1 – Introduction générale : du modèle numérique au métamodèle
Séance 2 – Structures de faible dimension, POD et modèles d’ordre réduit
Séance 3 – Métamodélisation par processus gaussiens (PG) distillés
Séance 4 – PG avancés : inclusion de contraintes physiques, multifidélité et enrichissement adaptatif
Séance 5 – Méthodes spectrales non intrusives, chaos polynomial et représentations fonctionnelles
Séance 6 – Transition vers les approches par apprentissage profond
Séance 7 – Réseaux de neurones inspirés par la physique
Séance 8 – Apprentissage d’opérateurs et modèles hybrides profonds
Séance 9 – Calibration, validation et stratégies d’enrichissement pour l’usage des métamodèles
Séance 10 – Quantification d’incertitudes en prévision
Mode de validation
Examen sur table après le cours 5 (2h, sans support électronique) 40% de la note finale / Projet 60% de la note finale
Session de rattrapage : examen sur table
Références
[1] Benedikt Alkin, Andreas F¨urst, Simon Schmid, Lukas Gruber, Markus Holzleitner, and Johannes Brandstetter. Universal physics transformers: A framework for efficiently scaling neural operators. arXiv:2402.12365, 2024.
[2] Grigory Isaakovich Barenblatt. Scaling, Self-Similarity, and Intermediate Asymptotics. Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press, 1996.
[3] Julien Bect, David Ginsbourger, Ling Li, Victor Picheny, and Emmanuel Vazquez. Sequential design of computer experiments for the estimation of a probability of failure. Statistics and Computing, 22(3):773–793, 2012.
[4] Peter Benner, Albert Cohen, Mario Ohlberger, and Karen Willcox, editors. Model Reduction and Approximation: Theory and Algorithms. Computational Science and Engineering. SIAM, 2017.
[5] Géraud Blatman and Bruno Sudret. Adaptive sparse polynomial chaos expansion based on least angle regression. Journal of Computational Physics, 230(6):2345–2367, 2011.
[6] Edgar Buckingham. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review, 4(4):345–376, 1914.
[7] Gaëlle Chastaing, Fabrice Gamboa, and Clémentine Prieur. Generalized Hoeffding–Sobol Decomposition for Dependent Variables: Application to Sensitivity Analysis. Electronic Journal of Statistics, 6:2420–2448, 2012.
[8] Ricky T. Q. Chen, Yulia Rubanova, Jesse Bettencourt, and David Duvenaud. Neural ordinary differential equations. In Advances in Neural Information Processing Systems, volume 31, 2018.
[9] J. Andrés Christen, Surajit Ray, et al. Advances in the sequential design of computer experiments based on active learning. Communications in Statistics – Simulation and Computation, 40(3):446–454, 2011.
[10] Sébastien Da Veiga, Fabrice Gamboa, Bertrand Iooss, and Clémentine Prieur. Basics and trends in sensitivity analysis: Theory and practice in R. SIAM, 2021.
[11] Sébastien Da Veiga and Amandine Marrel. Gaussian process modeling with inequality constraints. In Annales de la Faculté des sciences de Toulouse: Mathématiques, volume 21, pages 529–555, 2012.
[12] Andreas C. Damianou and Neil D. Lawrence. Deep gaussian processes. In Proceedings of the Sixteenth International Conference on Artificial Intelligence and Statistics, volume 31 of Proceedings of Machine Learning Research, pages 207–215. PMLR, 2013.
[13] Nathan Doumèche, Francis Bach, Gérard Biau, and Claire Boyer. Physics-informed machine learning as a kernel method. In The Thirty Seventh Annual Conference on Learning Theory, pages 1399–1450. PMLR, 2024.
[14] Nathan Doumèche, Gérard Biau, and Claire Boyer. On the convergence of pinns. Bernoulli, 31(3):2127–2151, 2025.
[15] Baptiste Ferrere, Nicolas Bousquet, Fabrice Gamboa, and Jean-Michel Loubes. Generalized functional anova in closed-form: A unified view of additive explanations. arXiv:2605.18422, 2026.
[16] Matteo Fontana, Gianluca Zeni, and Simone Vantini. Conformal prediction: a unified review of theory and new challenges. Bernoulli, 29(1):1–23, 2023.
[17] Stefania Fresca and Andrea Manzoni. A comprehensive deep learning-based approach to reduced order modeling of nonlinear time-dependent parametrized pdes. Journal of Scientific Computing, 87(2):61, 2021.
[18] Stefania Fresca, Andrea Manzoni, Luca Dedè, and Alfio Quarteroni. Pod-dl-rom: Enhancing deep learning-based reduced order models for nonlinear parametrized pdes by proper orthogonal decomposition. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 388:114181, 2022.
[19] Roger G. Ghanem and Pol D. Spanos. Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach. Springer, New York, 1991.
[20] Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville. Deep Learning. MIT Press, 2016.
[21] Vignesh Gopakumar, Ander Gray, Joel Oskarsson, Lorenzo Zanisi, Stanislas Pamela, Daniel Giles, Matt Kusner, and Marc Peter Deisenroth. Uncertainty quantification of surrogate models using conformal prediction. arXiv:2408.09881, 2024.
[22] Wenchong He, Zhe Jiang, Tingsong Xiao, Zelin Xu, and Yukun Li. A survey on uncertainty quantification methods for deep learning. arXiv:2302.13425, 2023.
[23] Jan S. Hesthaven, Gianluigi Rozza, and Benjamin Stamm. Certified Reduced Basis Methods for Parametrized Partial Differential Equations. SpringerBriefs in Mathematics. Springer, 2016.
[24] Geoffrey E. Hinton and Ruslan R. Salakhutdinov. Reducing the dimensionality of data with neural networks. Science, 313(5786):504–507, 2006.
[25] Giles Hooker. Generalized functional anova diagnostics for high-dimensional functions of dependent variables. Journal of Computational and Graphical Statistics, 16(3):709–732, 2007.
[26] Edgar Jaber, Vincent Blot, Nicolas Brunel, Vincent Chabridon, Emmanuel Remy, Bertrand Iooss, Didier Lucor, Mathilde Mougeot, and Alessandro Leite. Conformal approach to gaussian process surrogate evaluation with coverage guarantees. arXiv preprint arXiv:2401.07733, 2024.
[27] George E. Karniadakis, Ioannis G. Kevrekidis, Lu Lu, Paris Perdikaris, Sifan Wang, and Liu Yang. Physics-informed machine learning. Nature Reviews Physics, 3(6):422–440, 2021.
[28] Diederik P. Kingma and Max Welling. Auto-encoding variational bayes. International Conference on Learning Representations, 2014.
[29] Olivier P. Le Maître and Omar M. Knio. Spectral Methods for Uncertainty Quantification: With Applications to Computational Fluid Dynamics. Scientific Computation. Springer, 2010.
[30] Kookjin Lee and Kevin T. Carlberg. Model reduction of dynamical systems on nonlinear manifolds using dee
Thèmes abordés
Le module occupe une position d’interface entre calcul scientifique, statistique, apprentissage profond et ingénierie. Il ne vise pas à reprendre les fondements déjà traités dans les autres cours du MVA, mais à montrer comment ces briques méthodologiques se recomposent lorsqu’il s’agit d’approximer, contraindre, valider et mettre sous incertitude des simulateurs physiques coûteux.
- Noyaux, processus gaussiens et représentations fonctionnelles
- Problèmes inverses, calibration et assimilation
- Deep learning, réduction non linéaire et surrogates profonds
- Apprentissage bayésien et quantification d’incertitudes
- Optimisation, contrôle, réseaux et usages industriels
- Plans d’expériences, apprentissage séquentiel et enrichissement adaptatif
- Géométrie, graphes, maillages et opérateurs
- Topologie, formes et structures non euclidiennes
- Analyse de sensibilité, explicabilité et interprétation fonctionnelle
Nicolas BOUSQUET
(EDF)
