Objectif du cours
Les équations aux dérivées partielles ont joué et continuent de jouer un rôle central dans les mathématiques du traitement de l’image. Ce cours est focalisé sur deux EDPs prototypes: l’équation de la chaleur et l’équation eikonale (permettant le calcul de plus courts chemins), et présente leurs applications en traitement de l’image, ainsi que leur résolution numérique robuste et efficace. Une attention particulière est portée au traitement de l’anisotropie, c’est à dire au traitement différencié de certaines directions de l’image (non-alignées avec les axes). Dans le cadre du traitement de l’image, l’anisotropie est souvent liée aux structures géométriques présentes dans les données (contours, textures), ou bien à l’utilisation de modèles mimant le fonctionnement du cortex visuel.
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Organisation des séances
7 séances de 3 heures, dont 3 incluant deux heures sur machine.
Mode de validation
Devoir maison + examen final, comportant une partie sur machine.
Thèmes abordés
– Approche historique du débruitage d’images via la résolution de l’équation de la chaleur anisotrope.
– Calcul de chemins minimaux pour différents modèles (Riemannien, sous-Riemannien, Finslerien). Application à des problèmes de segmentation d’images.
– Schémas aux différences finies, y compris adaptatives en fonction de l’anisotropie de l’EDP.
– Stabilité des schémas numériques. Schémas monotones, principes du maximum et de comparaison.
– Modèles sous-Riemanniens et hypo-elliptiques (véhicule de Reeds-Shepp, modèle de Petitot), en lien avec le cortex visuel V1. Spécificités de l’implémentation numérique.
– Calcul scientifique sur CPU et GPU. (Utilisation de Google Colab dans le second cas.)
Les intervenants